【題目】如圖,在幾何體ABCDQP中,AD⊥平面ABPQ,AB⊥AQ,AB∥CD∥PQ,CD=AD=AQ=PQ= AB.
(1)證明:平面APD⊥平面BDP;
(2)求二面角A﹣BP﹣C的正弦值.

【答案】
(1)證明:取AB中點(diǎn)E,連結(jié)PE,

∵AD⊥平面ABPQ,AB⊥AQ,AB∥CD∥PQ,設(shè)CD=AD=AQ=PQ= AB=1.

∴PB⊥AD,PE=1,且PE⊥AB,

∴AP=PB= = ,

∴AP2+BP2=AB2,∴AP⊥BP,

∵AD∩AP=A,∴PB⊥平面APD,

∵PB平面BDP,∴平面APD⊥平面BDP


(2)解:以A為原點(diǎn),AQ為x軸,AB為y軸,AD為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(1,1,0),B(0,2,0),C(0,1,1),

=(1,﹣1,0), =(0,﹣1,1),

設(shè)平面BPC的法向量 =(x,y,z),

,取x=1,得 =(1,1,1),

平面ABP的法向量 =(0,0,1),

設(shè)二面角A﹣BP﹣C的平面角為θ,

則cosθ= = ,

∴sinθ= =

∴二面角A﹣BP﹣C的正弦值為


【解析】(1)取AB中點(diǎn)E,連結(jié)PE,推導(dǎo)出PE⊥AB,AP⊥BP,從而PB⊥平面APD,由此能證明平面APD⊥平面BDP.(2)以A為原點(diǎn),AQ為x軸,AB為y軸,AD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣BP﹣C的正弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.3
C.
D.

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A.3
B.4
C.3
D.3

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(1)求證:PA⊥CM;
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(1)分別求甲隊(duì)3:0,3:1,3:2勝利的概率;
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