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【題目】已知長方形ABCD中,AB3,AD4.現將長方形沿對角線BD折起,使ACa,得到一個四面體ABCD,如圖所示.

(1)試問:在折疊的過程中,直線ABCD能否垂直?若能,求出相應a的值;若不能,請說明理由;

(2)求四面體ABCD體積的最大值.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】
試題分析:(1)假設,又,則平面,得到,解得;(2)易知,翻折到平面平面時,體積最大,則底面為,高為,求得最大體積為。

(1)直線ABCD能夠垂直.

因為ABAD,若ABCD,ADCDD,

則有AB⊥平面ACD

從而ABAC.

此時,a

即當a時,有ABCD.

(2)由于△BCD面積為定值,所以當點A到平面BCD的距離最大,即當平面ABD⊥平面BCD時,該四面體的體積最大,

此時,過點A在平面ABD內作AHBD,垂足為H

則有AH⊥平面BCDAH就是該四面體的高.

在△ABD中,AH,

SBCD×3×46,

此時VABCDSBCD·AH,即為該四面體體積的最大值.

練習冊系列答案
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支持

不支持

合計

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80

年齡大于50歲

10

合計

70

100

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