【題目】惠州市某學(xué)校高三年級(jí)模擬考試的數(shù)學(xué)試題是全國I卷的題型結(jié)構(gòu)，其中第22、23題為選做題，考生只需從中任選一題作答.已知文科數(shù)學(xué)和理科數(shù)學(xué)的選做題題目無任何差異，該校參加模擬考試學(xué)生共1050人，其中文科學(xué)生150人，理科學(xué)生900人.在測試結(jié)束后，數(shù)學(xué)老師對(duì)該學(xué)校全體高三學(xué)生選做的22題和23題得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，22題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表1，23題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表2.

表1

22題得分

0

3

5

8

10

理科人數(shù)

50

70

80

100

500

文科人數(shù)

5

20

10

5

70

表2

23題得分

0

3

5

8

10

理科人數(shù)

10

10

15

25

40

文科人數(shù)

5

5

25

0

5

（1）在答卷中完成如下列聯(lián)表，并判斷能否至少有的把握認(rèn)為“選做22題或23題”與“學(xué)生的科類（文理）”有關(guān)系；

選做22題

選做23題

合計(jì)

文科人數(shù)

110

理科人數(shù)

100

總計(jì)

1050

（2）在第23題得分為0的學(xué)生中，按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行答疑輔導(dǎo)，并在輔導(dǎo)后從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行測試，求被抽中進(jìn)行測試的2名學(xué)生均為理科生的概率.

參考公式：，其中.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；

（2）由分層抽樣法求得被選取的6名學(xué)生中理科生和文科生人數(shù)，進(jìn)而寫出從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名的所有基本事件以及被抽中的2名學(xué)生均為理科生的基本事件，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率.

解：（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下，

選做22題

選做23題

合計(jì)

文科人數(shù)

110

40

150

理科人數(shù)

800

100

900

總計(jì)

910

140

1050

由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算

所以有的把握認(rèn)為“選做題的選擇”與“文、理科的科類”有關(guān)；

（2）由分層抽樣的方法可知在被選取的6名學(xué)生中理科生有4名，文科生有2名，

記4名理科生為，2名文科生為，

從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，全部可能的基本事件共15種

分別是：

被抽中的2名學(xué)生均為理科生的基本事件是：，有6種，

故所求的概率為

所以被抽中進(jìn)行測試的2名學(xué)生均為理科生的概率為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù).

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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【題目】如圖，已知三棱柱的所有棱長均為2，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若平面平面，為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．

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【題目】已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通過化驗(yàn)血液來確定感染者.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為感染者，呈陰性即為健康.

（1）若從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取3名，求抽到感染者的概率；

（2）血液化驗(yàn)確定感染者的方法有：①逐一化驗(yàn)；②分組混合化驗(yàn)：先將血液分成若干組，對(duì)組內(nèi)血液混合化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則對(duì)該組的備份血液逐一化驗(yàn)，直至確定感染者.

（i）采取逐一化驗(yàn)，求所需檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

（ii）采取平均分組混合化驗(yàn)（每組血液份數(shù)相同），依據(jù)所需化驗(yàn)總次數(shù)的期望，選擇合理的平均分組方案.

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【題目】已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，其面積S．

（1）若a，b，求cosB．

（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是曲線與的交點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的交點(diǎn)，、均異于原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，設(shè)，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知正方體的棱長為2，平面過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，且與正方體每條棱所在直線所成的角相等，則該正方體在平面內(nèi)的正投影面積是__________.

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