Question

已知點A（x₁，m），B（x₂，m），C（x₂，0），D（x₁，0），其中x₂＞x₁＞0，且

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

為方程yx²-x+y=0的兩組不同實數解，若四邊形ABCD是矩形，則此矩形繞x軸旋轉一周得到的圓柱的體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：利用

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

為方程yx²-x+y=0的兩組不同實數解，可得x₁，x₂為方程mx²-x+m=0的兩個不同實數解，x₁+x₂=

1

m

，x₁x₂=1，表示出圓柱的體積，利用配方法，即可得出結論．

解答： 解：∵

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

為方程yx²-x+y=0的兩組不同實數解，
∴x₁，x₂為方程mx²-x+m=0的兩個不同實數解，
∴x₁+x₂=

1

m

，x₁x₂=1，
矩形繞x軸旋轉一周得到的圓柱的體積V=πm²|x₁-x₂|=πm²•

1 m2 -4

=π

m2-4m4

=π

-4(m2- 1 8 )2+ 1 16

，
∴m²=

1

8

時，矩形繞x軸旋轉一周得到的圓柱的體積的最大值為

π

4

．
故答案為：

π

4

．

點評：本題考查旋轉體的體積，考查韋達定理的運用，正確表示圓柱的體積是關鍵．