已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
3
x且過點(diǎn)M(
6
,1).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m,(m≠0)與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn),D(0,-1)且有|AD|=|BD|,試求m的取值范圍.
(1)由題意可知:雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)此雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0).
b
a
=
3
3
6
a2
-
1
b2
=1
,解得
a2=3
b2=1

∴雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1
;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
y=kx+m
x2-3y2=3
,化為(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,(1-3k2≠0)
由題意△>0,化為m2+1>3k2.(*)
x1+x2=
6km
1-3k2
,x1x2=
-3m2-3
1-3k2

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0=
x1+x2
2
=
3km
1-3k2
,y0=kx0+m=
3k2m
1-3k2
+m
=
m
1-3k2

∴M(
3km
1-3k2
,
m
1-3k2
)
.kMD=
m+1-3k2
3km

∵|AD|=|BD|,∴kAB•kMD=-1.
k•
m+1-3k2
3km
=-1
,化為4m+1=3k2,代入(*)得m2+1>4m+1,
解得m>4或m<0.
由3k2=4m+1≥0,解得m≥-
1
4

∴m的取值范圍是[-
1
4
,0)∪(4,+∞).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

點(diǎn)P到x軸的距離比它到點(diǎn)(0,1)的距離小1,稱點(diǎn)P的軌跡為曲線C,點(diǎn)M為直線l:y=-m(m>0)上任意一點(diǎn),過點(diǎn)M作曲線C的兩條切線MA,MB,切點(diǎn)分別為A,B.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-l)時(shí),求過M,A,B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系;
(3)當(dāng)m變化時(shí),試探究直線l上是否存在點(diǎn)M,使MA⊥MB?若存在,有幾個(gè)這樣的點(diǎn),若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距為2,且過點(diǎn)(
2
,
6
2
)

(1)求橢圓E的方程;
(2)若點(diǎn)A,B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸,點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線AP交l于點(diǎn)M.
(ⅰ)設(shè)直線OM的斜率為k1,直線BP的斜率為k2,求證:k1k2為定值;
(ⅱ)設(shè)過點(diǎn)M垂直于PB的直線為m.求證:直線m過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知圓G:x2+y2-2x-
2
y=0,經(jīng)過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B,過圓外一點(diǎn)(m,0)(m>a)傾斜角為
6
的直線l交橢圓于C,D兩點(diǎn),
(1)求橢圓的方程;
(2)若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓E1方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,圓E2方程為x2+y2=a2,過橢圓的左頂點(diǎn)A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C.
(Ⅰ)若k1=1時(shí),B恰好為線段AC的中點(diǎn),試求橢圓E1的離心率e;
(Ⅱ)若橢圓E1的離心率e=
1
2
,F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn),當(dāng)|BA|+|BF2|=2a時(shí),求k1的值;
(Ⅲ)設(shè)D為圓E2上不同于A的一點(diǎn),直線AD的斜率為k2,當(dāng)
k1
k2
=
b2
a2
時(shí),試問直線BD是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知拋物線y=x2上有一條長為2的動(dòng)弦AB,則AB中點(diǎn)M到x軸的最短距離為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C與雙曲線
x2
2
-
y2
6
=1
有相同焦點(diǎn)F1和F2,過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),△ABF2的周長為8
3
.若直線y=t(t>0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F,以線段EF為直徑作圓M.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓M與x軸相切,求圓M被直線x-
3
y+1=0
截得的線段長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn),|
F1F2
|=2
,離心率e=
1
2
,過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l的傾斜角為
π
4
,求線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

以橢圓
x2
16
+
y2
4
=1
內(nèi)的點(diǎn)M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為______.

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同步練習(xí)冊答案