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已知F1，F2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，|
F1F2
|=2，離心率e=
1
2
，過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l的傾斜角為
π
4
，求線段MN中點的坐標．
（1）∵2c=|
F1F2
|=2，∴c=1，
又由e=
c
a
=
1
2
，得a=2，∴b2=22-12=3，
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）∵F2（1，0），kl=tan
π
4
=1．
∴直線l：y=x-1，
設M（x1，y1），N（x2，y2），
線段MN的中點為G（x0，y0）．
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1

得7x2-8x-8=0，
∴x1+x2=
8
7
，
∴x0=
x1+x2
2
=
4
7
，y0=x0-1=-
3
7
，
故線段MN的中點為(
4
7
，-
3
7
)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長是短軸長的兩倍，且過點A（2，1）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：x-1-y=0與橢圓C交于不同的兩點M，N，求|MN|的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
3
x且過點M（
6
，1）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m，（m≠0）與雙曲線C相交于A，B兩點，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F2，離心率為
2
2
，以線段F1F2為直徑的圓的面積為π，設直線l過橢圓的右焦點F2（l不垂直坐標軸），且與橢圓交于A、B兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點M（m，0），試求m的取值范圍；
（3）求△ABF1面積的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為2c；若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，過橢圓上任一點P（x0，y0）作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于
3
2
（a-c）．
（Ⅰ）證明：|PF2|的最小值為a-c；
（Ⅱ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）若橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為2的直線l與橢圓交于A、B兩點，若OA⊥OB，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-
2
，0)，(
2
，0)，離心率是
6
3
，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P，圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；
（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當T變化時，求y的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面內一點P與兩個定點F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離的差的絕對值為2．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）設過（0，-2）的直線l與曲線C交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
45
+
y2
20
=1的焦點分別為F1和F2，過原點O作直線與橢圓相交于A，B兩點．若△ABF2的面積是20，則直線AB的方程是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A（-
2
，0）、B（
2
，0），離心率e=
2
2
．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且|MN|=
8
2
7
，求直線MN的方程．

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