已知橢圓C與雙曲線
x2
2
-
y2
6
=1有相同焦點(diǎn)F1和F2，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長為8
3
．若直線y=t（t＞0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F，以線段EF為直徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與x軸相切，求圓M被直線x-
3
y+1=0截得的線段長．
（1）由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），半焦距為c．
∵橢圓C與雙曲線
x2
2
-
y2
6
=1有相同焦點(diǎn)，∴c=
2+6
=2
2
．
∵△ABF2的周長為8
3
，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=8
3
，∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8
3
，
由橢圓的定義可得4a=8
3
，解得a=2
3
，
∴b2=a2-c2=4．
∴橢圓C的方程為
x2
12
+
y2
4
=1．
（2）聯(lián)立
y=t
x2
12
+
y2
4
=1
，解得
x=±
12-3t2
y=t
，
不妨設(shè)E(-
12-3t2
，t)，F(xiàn)(
12-3t2
，t)，
∵以線段EF為直徑所作的圓M與x軸相切，∴r=t=
12-3t2
，解得t=
3
．
∴圓心為（0，
3
）．
∴圓M的方程為x2+(y-
3
)2=3．
圓心（0，
3
）到直線x-
3
y+1=0的距離d=
|0-3+1|
1+(
3
)2
=1．
∴圓M被直線x-
3
y+1=0截得的線段長=2
r2-d2
=2
3-1
=2
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓中心O，如圖，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實(shí)數(shù)λ，使
PQ
=λ
AB
，請(qǐng)給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
2
2
），且離心率為
2
2
，過點(diǎn)B（2，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求
.
BM
•
.
BN
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
3
x且過點(diǎn)M（
6
，1）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m，（m≠0）與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的兩條漸近線方程是y=x和y=-x，且過點(diǎn)D(
2
，
3
)．l1，l2是過點(diǎn)P(-
2
，0)的兩條互相垂直的直線，且l1，l2與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為A1，B1和A2，B2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求l1斜率的范圍
（3）若|A1B1|=
5
|A2B2|，求l1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
2
，以線段F1F2為直徑的圓的面積為π，設(shè)直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F2（l不垂直坐標(biāo)軸），且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），試求m的取值范圍；
（3）求△ABF1面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2c；若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，過橢圓上任一點(diǎn)P（x0，y0）作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于
3
2
（a-c）．
（Ⅰ）證明：|PF2|的最小值為a-c；
（Ⅱ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）若橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為2的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知平面內(nèi)一點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離的差的絕對(duì)值為2．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程C；
（Ⅱ）設(shè)過（0，-2）的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長軸頂點(diǎn)A和短軸頂點(diǎn)B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，證明∠F1QF2≤
π
2

（3）過F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△MF2N的面積為20
3
，求橢圓方程．

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