【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，可證明出，，得到為平行四邊形，通過，證明出平面；

（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，，由平面平面，得到平面，從而以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，的坐標(biāo)，然后通過，證明；

（3）證明出是平面的法向量，求出平面的法向量，通過法向量的夾角公式，得到二面角的余弦值.

（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，

在等邊三角形中，且，

又因?yàn)?/span>，

所以，又因?yàn)?/span>，

所以，

所以為平行四邊形，

所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

（2）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，

因?yàn)槿切?/span>是等邊三角形

所以，，

因?yàn)樗倪呅?/span>滿足，，，

所以，，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，

所以平面，

以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，

所以

所以；

（3）由（2）知，，

因?yàn)榈冗吶切?/span>中，為的中點(diǎn)，所以，

平面，

所以平面，

所以是平面的法向量，

又，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，得，

由，

又因?yàn)槎娼?/span>為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

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【題目】已知?jiǎng)訄A與圓： 相切，且與圓： 相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線.設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交曲線于, 兩個(gè)不同的點(diǎn).

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請(qǐng)說明理由；

（Ⅲ）記的面積為， 的面積為，令，求的最大值.

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【題目】第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至2019年10月27日在中國武漢舉行，第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)是我國第一次承辦的綜合性國際軍事體育賽事，也是繼北京奧運(yùn)會(huì)后我國舉辦的規(guī)模最大的國際體育盛會(huì).經(jīng)過激烈角逐，獎(jiǎng)牌榜的前6名依次為中國俄羅斯巴西法國波蘭和德國.其中德國隊(duì)共有45名運(yùn)動(dòng)員獲得了獎(jiǎng)牌，其中金牌10枚銀牌15枚銅牌20枚，某大學(xué)德語系同學(xué)利用分層抽樣的方式從德國隊(duì)獲獎(jiǎng)選手中抽取9名獲獎(jiǎng)代表.

（1）請(qǐng)問這9名獲獎(jiǎng)代表中獲金牌銀牌銅牌的人數(shù)分別為多少人?

（2）從這9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中銀牌選手的人數(shù)為，求的分布列和期望.

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【題目】“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心，據(jù)此，某網(wǎng)站調(diào)查了人們對(duì)生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（Ⅰ）求這200人的平均年齡（每一組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）和年齡的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；

（Ⅱ）現(xiàn)在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的3人中恰有2人的年齡在第2組中的概率；

（Ⅲ）若從所有參與調(diào)查的人（人數(shù)很多）中任意選出3人，設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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【題目】如圖，在四棱錐中，，底面四邊形為直角梯形，，，為線段上一點(diǎn).

(1)若，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由

(2)己知，若異面直線與成角，二而角的余弦值為，求的長(zhǎng).

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，過點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。

（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：

（2）若成等比數(shù)列，求a的值。

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【題目】某人經(jīng)營一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，顧客花費(fèi)3元錢可購買一次游戲機(jī)會(huì)，每次游戲中，顧客從標(biāo)有黑1、黑2、黑3、黑4、紅1、紅3的6張卡片中隨機(jī)抽取2張，并根據(jù)摸出的卡片的情況進(jìn)行兌獎(jiǎng)，經(jīng)營者將顧客抽到的卡片情況分成以下類別：：同花順，即卡片顏色相同且號(hào)碼相鄰；：同花，即卡片顏色相同，但號(hào)碼不相鄰；：順子，即卡片號(hào)碼相鄰，但顏色不同；：對(duì)子，即兩張卡片號(hào)碼相同；：其它，即，，，以外的所有可能情況，若經(jīng)營者打算將以上五種類別中最不容易發(fā)生的一種類別對(duì)應(yīng)顧客中一等獎(jiǎng)，最容易發(fā)生的一種類別對(duì)應(yīng)顧客中二等獎(jiǎng)，其他類別對(duì)應(yīng)顧客中三等獎(jiǎng).

（1）一、二等獎(jiǎng)分別對(duì)應(yīng)哪一種類別？（寫出字母即可）

（2）若經(jīng)營者規(guī)定：中一、二、三等獎(jiǎng)，分別可獲得價(jià)值9元、3元、1元的獎(jiǎng)品，假設(shè)某天參與游戲的顧客為300人次，試估計(jì)經(jīng)營者這一天的盈利.

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