Question

過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l₁、l₂,若l₁交x軸于A點(diǎn)，l₂交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

解法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,

    ∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，

    ∴A的坐標(biāo)為（2x,0），B的坐標(biāo)為（0,2y）.

    ∵l₁⊥l₂,且l₁、l₂過點(diǎn)P（2，4），

    PA⊥PB,k_PA·k_PB=-1.

    而k_PA=,k_PB=(x≠1),

    ∴·=-1(x≠1).

    整理，得x+2y-5=0(x≠1).

    ∵當(dāng)x=1時(shí)，A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,4),

    ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），它滿足方程x+2y-5=0.

    綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程是x+2y-5=0.

解法二：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2x,0）、(0,2y),連結(jié)PM，∵l₁⊥l₂,

    ∴2｜PM｜=｜AB｜.

    而｜PM｜=,

    ｜AB｜=,

    ∴2=.化簡，得x+2y-5=0,為所求軌跡方程.

解法三：設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），由l₁⊥l₂，BO⊥OA知O、A、P、B四點(diǎn)共圓，

    ∴｜MO｜=｜MP｜，即點(diǎn)M是線段OP的垂直平分線上的點(diǎn).

    ∵k_OP==2,線段OP的中點(diǎn)為(1,2),

    ∴y-2=-(x-1),即x+2y-5=0為所求.