Question

過(guò)點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線(xiàn)l₁、l₂，l₁交x軸于A點(diǎn)，l₂交y軸于B點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

解法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,

∵M(jìn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，

∴A的坐標(biāo)為（2x,0），B的坐標(biāo)為（0，2y）.

∵l₁⊥l₂，且l₁、l₂過(guò)點(diǎn)P（2，4），

∴PA⊥PB,k_PA·k_PB=-1.

而k_PA=,k_PB=(x≠1).

∴=-1(x≠1),

整理得x+2y-5=0(x≠1).

∵當(dāng)x=1時(shí)，A、B的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，4），

∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），它滿(mǎn)足方程x+2y-5=0.

綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程是x+2y-5=0.

解法二：如圖，設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（2x,0）、（0，2y），連接PM.

∵l₁⊥l₂,

∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=,

|AB|=,∴2.

化簡(jiǎn)，得x+2y-5=0為所求軌跡方程.

解法三：設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y）,連接PM、OM，由l₁⊥l₂知A、O、B、P四點(diǎn)共圓，AB為圓的直徑，M為圓心，則有|OM|=|MP|.

∴.

化簡(jiǎn)得x+2y-5=0，為所求軌跡方程.