Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)任取兩個實數(shù)p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、[6，+∞）
• B、[4，+∞）
• C、[-

  1

  8

  ，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，可知函數(shù)圖象上在區(qū)間（0，1）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（0，1）內(nèi)恒成立，把原函數(shù)求導(dǎo)后分離參數(shù)a，然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性求
y=2x²+3x+1在[0，1]上的最大值，則答案可求．

解答： 解：

f(p+1)-f(q+1)

p-q

表示點（p+1，f（p+1））與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實數(shù)p，q在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，故p+1 和q+1在區(qū)間（0，1）內(nèi)．
∵不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（0，1）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（0，1）內(nèi)恒成立．
由函數(shù)的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1在（0，1）內(nèi)恒成立．
即a＞2x²+3x+1在（0，1）內(nèi)恒成立．
由于二次函數(shù)y=2x²+3x+1在（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)，
故x=2時，y=2x²+3x+1在[0，1]上取最大值為6，
∴a≥6．
∴實數(shù)a的取值范圍為[6，+∞）．
故選：A．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點出的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．