Question

【題目】若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）若關于x的方程有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)的極大值為：，函數(shù)的極小值為；（3）.

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導，根據(jù)題意結合原函數(shù)的解析式和導函數(shù)的解析式進行求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求的導函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)極值的定義進行求解即可；

（3）把關于x的方程有三個零點，轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點個數(shù)為3，根據(jù)（2）畫出函數(shù)的圖象和的圖象，利用數(shù)形結合進行求解即可.

（1），因為當時，函數(shù)有極值，所以有；

（2）由（1）可知；，令，得，

當時，，因此函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，因此函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，因此函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有極大值，其值為，當時，函數(shù)有極小值，其值為，因此函數(shù)的極大值為：，函數(shù)的極小值為；

（3）因為關于x的方程有三個零點，所以函數(shù)的圖象和的圖象有3個交點，函數(shù)的圖象和的圖象如下所示：

因此由（2）所求的極值可知：當時，函數(shù)的圖象和的圖象有3個交點，即關于x的方程有三個零點.