Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x²－(a－2)x－alnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；
(3)若方程f(x)＝c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，求證：f′>0.

Answer 1

（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）3（3）見解析

(1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．
當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< .
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
(2)解：由(1)得，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a²＋4a－4aln <0.因?yàn)閍>0，所以a＋4ln－4>0.
令h(a)＝a＋4ln－4，顯然h(a)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1>0，所以存在a₀∈(2，3)，h(a₀)＝0.
當(dāng)a>a₀時(shí)，h(a)>0；當(dāng)0<a<a₀時(shí)，h(a)<0.所以滿足條件的最小正整數(shù)a＝3.
又當(dāng)a＝3時(shí)，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a＝3時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)a的值為3.
(3)證明：因?yàn)閤₁、x₂是方程f(x)＝c的兩個(gè)不等實(shí)根，由(1)知a>0.
不妨設(shè)0<x₁<x₂，則－(a－2)x₁－alnx₁＝c，－(a－2)x₂－alnx₂＝c.
兩式相減得－(a－2)x₁－alnx₁－＋(a－2)·x₂＋alnx₂＝0，
即＋2x₁－－2x₂＝ax₁＋alnx₁－ax₂－alnx₂＝a(x₁＋lnx₁－x₂－lnx₂)．
所以a＝.
因?yàn)閒′＝0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，
故只要證> 即可，即證明x₁＋x₂> ，
即證明－＋(x₁＋x₂)(lnx₁－lnx₂)< ＋2x₁－－2x₂，
即證明ln <.設(shè)t＝ (0<t<1)．
令g(t)＝lnt－，則g′(t)＝.
因?yàn)閠>0，所以g′(t)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，g′(t)＝0，
所以g(t)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
又g(1)＝0，所以當(dāng)t∈(0，1)，g(t)<0總成立．所以原題得證．