Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2.

（1）求證：DE∥平面A1CB；

（2）求證：A1F⊥BE；

（3）線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ

【解析】

試題分析：（1）D，E分別為AC，AB的中點，易證DE∥平面A1CB；（2）由題意可證DE⊥平面A1DC，從而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可證A1F⊥平面BCDE，問題解決；（3）取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC，平面DEQ即為平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，可證A1C⊥平面DEP，從而A1C⊥平面DEQ

試題解析：（1）證明：因為D，E分別為AC，AB的中點，

所以DE∥BC.

又因為DE平面A1CB，

所以DE∥平面A1CB.

（2）證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC.

所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.

而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.

又因為A1F⊥CD，

所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.

（3）線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC.

又因為DE∥BC，所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即為平面DEP.

由（2）知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.

又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，

所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ.

故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ.