【題目】已知?jiǎng)訂TP過(guò)定點(diǎn) 且與圓N: 相切,記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)D(3,0)且斜率不為零的直線交曲線C于A,B兩點(diǎn),在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得直線AQ,BQ的斜率之積為非零常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,由N: 及 ,知點(diǎn)M在圓N內(nèi),則有 ,
從而丨PM丨+丨PN丨=4>丨MN丨=2 ,
∴P的軌跡C是以M,N為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,
設(shè)曲線C的方程為: (a>b>0),則2a=4,a=4,c= ,
b2=a2﹣c2=1
故曲線C的軌跡方程為 ;
(Ⅱ)依題意可設(shè)直線AB的方程為x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2).,
由 ,整理得:(4+m2)y2+6my+5=0,則△=36m2﹣4×5×(4+m2)>0,即m2>4,
解得:m>2或m<﹣2,
由y1+y2=﹣ ,y1y2= ,x1+x2=m(y1+y2)+6= ,
x1x2=(my1+3)(my2+3)=m2y1y2+m(y1+y2)+9= ,
假設(shè)存在定點(diǎn)Q(t,0),使得直線AQ,BQ的斜率之積為非零常數(shù),則
(x1﹣t)(x2﹣t)=x1x2﹣t(x1+x2)+t2= ﹣t× +t2= ,
∴kAQkBQ= = = ,
要使kAQkBQ為非零常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng) ,解得t=±2,
當(dāng)t=2時(shí),常數(shù)為 = ,
當(dāng)t=﹣2時(shí),常數(shù)為 = ,
∴存在兩個(gè)定點(diǎn)Q1(2,0)和Q2(﹣2,0),使直線AQ,BQ的斜率之積為常數(shù),
當(dāng)定點(diǎn)為Q1(2,0)時(shí),常數(shù)為 ;當(dāng)定點(diǎn)為Q2(﹣2,0)時(shí),常數(shù)為
【解析】(Ⅰ)由題意可知丨PM丨+丨PN丨=4>丨MN丨=2 ,則P的軌跡C是以M,N為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,則a=4,c= ,b2=a2﹣c2=1,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程,考查韋達(dá)定理,直線的斜率公式,當(dāng)且僅當(dāng) ,解得t=±2,代入即可求得,定點(diǎn)的坐標(biāo).
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)向量 =(sin2ωx,cos2ωx), =(cosφ,sinφ),其中|φ|< ,ω>0,函數(shù)f(x)= 的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)(即函數(shù)取得最大值的點(diǎn))為 ,在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為 .
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在△ABC中,角A′B′C的對(duì)邊分別是a′b′c′若f(C)=﹣1, ,且a+b=2 ,求邊長(zhǎng)c.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+ ),將其圖象向右平移 ,則所得圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 ,
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f(A)=2,而 ,求邊BC的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))與h(x)=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[1, +2]
B.[1,e2﹣2]
C.[ +2,e2﹣2]
D.[e2﹣2,+∞)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=sin( +x)(cosx﹣2sinx)+sin2x的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x),則g(x)具有性質(zhì)( )
A.在(0, )上單調(diào)遞增,為奇函數(shù)
B.周期為π,圖象關(guān)于( )對(duì)稱(chēng)
C.最大值為 ,圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng)
D.在(﹣ )上單調(diào)遞增,為偶函數(shù)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,若圓x2+y2=a2被直線x﹣y﹣ =0截得的弦長(zhǎng)為2
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)A、B為動(dòng)直線y=k(x﹣1),k≠0與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn),問(wèn):在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得 為定值?若存在,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量 與 平行.
(1)求 的值;
(2)若bcosC+ccosB=1,△ABC周長(zhǎng)為5,求b的長(zhǎng).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn),PA=PD=AD=2
(1)點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確定t的值,使PA∥平面MQB;
(2)在(1)的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M﹣BQ﹣C的大。
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com