【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣klnx,(常數(shù)k>0).
(1)試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對于任意x≥1,f(x)>0恒成立,試確定實數(shù)k的取值范圍.
【答案】
(1)解:f'(x)=1﹣ ,且定義域為(0,+∞),
當(dāng)f'(x)>0,即有x>k;所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k,+∞);
當(dāng)f'(x)<0,即有0<x<k,所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,k)
(2)解:若0<k<1,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上遞增,故只要f(1)=1>0即可;
若k>1,函數(shù)f(x)在(1,k)上遞減,在(k,+∞)上遞增,
故只要f(k)=k(1﹣lnk)>0,即1<k<e;
若k=1時,f(x)=x﹣lnx,對x≥1,有f(x)>0成立;
故實數(shù)k的取值范圍為(0,e)
【解析】(1)首先對f(x)求導(dǎo),當(dāng)f'(x)>0即可求出單調(diào)遞增區(qū)間,f'(x)<0即可求出單調(diào)遞減區(qū)間;(2)分類討論參數(shù)k的取值范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值判斷即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)﹣ax,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x>1時,f(x﹣1)≤ 恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十九大提出,堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點扶貧村真脫貧,堅持扶貧同扶智相結(jié)合,幫助貧困村種植蜜柚,并利用電商進(jìn)行銷售,為了更好地銷售,現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了100個蜜柚進(jìn)行測重,其質(zhì)量分別在, , , , , (單位:克)中,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求質(zhì)量落在, 兩組內(nèi)的蜜柚的抽取個數(shù),
(2)從質(zhì)量落在, 內(nèi)的蜜柚中隨機(jī)抽取2個,求這2個蜜柚質(zhì)量均小于2000克的概率;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中是真命題的個數(shù)是( )
(1)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
(2)與同一個平面夾角相等的兩條直線互相平行
(3)平行于同一個平面的兩條直線互相平行
(4)兩條直線能確定一個平面
(5)垂直于同一個平面的兩個平面平行
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+sin2x.給出以下四個命題:
①x>0,不等式f(x)<2x恒成立;
②k∈R,使方程f(x)=k有四個不相等的實數(shù)根;
③函數(shù)f(x)的圖象存在無數(shù)個對稱中心;
④若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且f(al)+f(a2)+f(a3)=3π,則a2=π.
其中的正確命題有 . (寫出所有正確命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)平面中,的兩個頂點為,平面內(nèi)兩點、同時滿足:①++=;②||=||=||;③∥.
(1)求頂點的軌跡的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的直線,直線與點的軌跡相交弦分別為,設(shè)弦的中點分別為.求四邊形的面積的最小值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|x|+a.
(1)若a=0,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若方程f(x)=x有三個不同的解,求實數(shù)a的取值范圍.
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