【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)﹣ax,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x>1時(shí),f(x﹣1)≤ 恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解: f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),
f'(x)= = ;
①若a≤0,則f'(x)>0,∴f(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增;
②若a>0,則f'(x)=0得x= ,
當(dāng)x∈(﹣1, )時(shí),f'(x)>0,
當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí),f'(x)<0;
∴f(x)在(﹣1, )上單調(diào)遞增,在( ,+∞)上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣1,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣1, ),單調(diào)減區(qū)間為( );
(2)解:f(x﹣1)﹣ = ;
令g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1),x≥1,g'(x)=lnx+1﹣2ax;
令h(x)=lnx+1﹣2ax,h'(x)= ﹣2a= ;
①若a≤0,h'(x)>0,g'(x)在[1,+∞)遞增,g'(x)≥g'(1)=1﹣2a≥0;
∴g(x)在[1,+∞)上遞增,g(x)≥g(1)=0;
從而f(x﹣1)﹣ ≥0,不符合題意.
②若0<a< ,當(dāng)x∈(1, )時(shí),h'(x)>0,g'(x)在(1, )上遞增,
從而g'(x)>g'(1)=1﹣2a>0;
所以,g(x)在[1,+∞)遞增,g(x)≥g(1)=0;
從而f(x﹣1)﹣ ≥0,不符合題意.
③若a≥ ,h'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
所以g'(x)在[1,+∞)上遞減,g'(x)≤g'(1)=1﹣2a≤0;
從而g(x)在[1,+∞)遞減,
所以g(x)≤g(1)=0;
∴f(x﹣1)﹣ 0;
綜上所以,a的取值范圍是[ ,+∞).
【解析】(1)首先對(duì)f(x)求導(dǎo),分類(lèi)討論a判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)由題意知:f(x﹣1)﹣ = ,令g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1),x1,g'(x)=lnx+1﹣2ax,令h(x)=lnx+1﹣2ax,h'(x)= ﹣2a= ;利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而求出a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值即可以解答此題.
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(Ⅰ)求證: ;
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A.
B.
C.
D.
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②函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,3)上單調(diào)遞增;
③函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為0;
④當(dāng)x∈(3,4)時(shí),f(x)=23﹣x .
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