【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程；

（2）若的斜率為，且過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程；

（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，進(jìn)而表示出中點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，易求得的值；當(dāng)時(shí)，可得垂直平分線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)和，利用弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而求得的值；綜合兩種情況可知為定值.

（1）設(shè)，，

則，兩式作差得：，

中點(diǎn)為，，，

直線的方程為：，即：.

（2）由橢圓方程知：，可設(shè)直線的方程：，

聯(lián)立得：，

設(shè)，，則，，

，

，，

當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，的垂直平分線方程為：，

令得：，，，

，

；

綜上所述：為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知， .

（Ⅰ）若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，“或”為真命題，“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在三棱錐中，底面，，，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，且，連接，，.

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的極小值；

（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)在上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】西安市自2017年5月啟動(dòng)對(duì)“車不讓人行為”處罰以來(lái)，斑馬線前機(jī)動(dòng)車搶行不文明行為得以根本改變，斑馬線前禮讓行人也成為了一張新的西安“名片”.

但作為交通重要參與者的行人，闖紅燈通行卻頻有發(fā)生，帶來(lái)了較大的交通安全隱患及機(jī)動(dòng)車通暢率降低，交警部門在某十字路口根據(jù)以往的檢測(cè)數(shù)據(jù)，得到行人闖紅燈的概率約為0.4，并從穿越該路口的行人中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，對(duì)是否存在闖紅燈情況得到列聯(lián)表如下：

30歲以下

30歲以上

合計(jì)

闖紅燈

60

未闖紅燈

80

合計(jì)

200

近期，為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項(xiàng)違法行為，交警部門在該十字路口試行了對(duì)闖紅燈行人進(jìn)行經(jīng)濟(jì)處罰，并從試行經(jīng)濟(jì)處罰后穿越該路口行人中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，得到下表：

處罰金額（單位：元）

5

10

15

20

闖紅燈的人數(shù)

50

40

20

0

將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得頻率代替概率，完成下列問(wèn)題.

（Ⅰ）將列聯(lián)表填寫完整（不需寫出填寫過(guò)程），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，在未試行對(duì)闖紅燈行人進(jìn)行經(jīng)濟(jì)處罰前，是否有99.9%的把握認(rèn)為闖紅燈與年齡有關(guān)；

（Ⅱ）當(dāng)處罰金額為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少；

（Ⅲ）結(jié)合調(diào)查結(jié)果，談?wù)勅绾沃卫硇腥岁J紅燈現(xiàn)象.

參考公式： ，其中

參考數(shù)據(jù)：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.132

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）點(diǎn)在棱上，且二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）為上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)分別作的兩條切線，相交于點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，∥，，，將直角梯形沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到點(diǎn)位置，則四面體的體積的最大值為________，此時(shí)，其外接球的表面積為________．

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