Question

定義：在數(shù)列中，若，（n≥2，n∈N*，p為常數(shù)），則稱(chēng)為“等方差數(shù)列”．下列是對(duì)“等方差數(shù)列”的有關(guān)判斷：

①若是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列是等差數(shù)列；②是“等方差數(shù)列”；

③若是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列（k∈N*，k為常數(shù)）也是“等方差數(shù)列”；

④若既是“等方差數(shù)列”，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)數(shù)列．

其中正確的命題為                 ．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

 

Answer 1

【答案】

③④

【解析】因?yàn)棰伲嚎梢耘e反例．如a_n=0時(shí)數(shù)列不存在，所以①錯(cuò)誤

②：對(duì)數(shù)列{（-2）ⁿ}有a_n²-a_n-1²=[（-2）ⁿ]²-[（-2）^n-1]²=4ⁿ-4^n-1不是常數(shù)，所以②錯(cuò)誤

③：對(duì)數(shù)列{a_kn}有a_kn²-a_k（n-1）²=（a_kn²-a_kn-1²）+（a_kn-1²-a_kn-2²）+…+（a_kn-k+1²-a_kn-k²）=kp，而k，p均為常數(shù)，所以數(shù)列{a_kn}也是“等方差數(shù)列”，所以③正確

④：設(shè)數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁，公差為d則有a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，所以有（a₁+d）²-a₁²=p，且（a₁+2d）²-（a₁+d）²=p，所以得d²+2a₁d=p，3d²+2a₁d=p，上兩式相減得d=0，所以此數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，所以④正確．

故答案為：③④