Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線(xiàn)為.過(guò)點(diǎn)作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線(xiàn)與右準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求直線(xiàn)的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）根據(jù)準(zhǔn)線(xiàn)的定義得，又由，結(jié)合可求得，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由可求得點(diǎn)橫坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)方程為，代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由可得，得直線(xiàn)方程；

（3）設(shè)，得，由點(diǎn)差法可得，從而得，則可得點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算可得．

（1）由已知可得： ，

解得：

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）由可知：

即，可得：，

設(shè)，直線(xiàn)AB的方程為，

聯(lián)立 ，得：，

為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，

即，解得：，

所以直線(xiàn)的方程為.

（3）設(shè)，，，，，，

由，兩方程相減得，即，

∴，即，

又，∴，∵，∴，即，

，，，

，

，

∴．

∴存在滿(mǎn)足題意的，且．