【題目】已知橢圓C的對稱中心為原點O,焦點在x軸上,左,右焦點分別為F1,F2,上頂點和右頂點分別為B,A,線段AB的中點為D,且,△AOB的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過F1的直線l與橢圓C相交于M,N兩點,若△MF2N的面積為,求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程.
【答案】(1);(2)(x-2)2+y2=8.
【解析】試題分析:(1)求橢圓方程關(guān)鍵是求方程中的,題中有兩個已知條件,由用數(shù)學(xué)式子翻譯出來聯(lián)立方程組可解得;(2)先考慮當(dāng)直線垂直于軸時是否滿足題意,如滿足,求出相應(yīng)圓方程,如不滿足,則舍去,當(dāng)直線斜率存在時,可設(shè)方程為,代入橢圓方程,由橢圓中的弦長公式求出弦長,再由點到直線距離公式求出到直線的距離,利用已知三角形面積求得,從而可得所求圓方程.
試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為 (a>b>0).由已知得A(a,0),B(0,b),D,
所以kOD·kAB=,
即a2=2b2,①
又S△AOB=,所以,②
由①②解得a2=8,b2=4,
所以橢圓方程為.
(2)①當(dāng)直線l⊥x軸時,易得M(-2, ),N(-2, ),△MF2N的面積為,不合題意.
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程得
(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.
顯然有Δ>0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,
所以MN=
=,
化簡得MN=.
又圓的半徑,
所以MN·r
=×·
=,
化簡得k4+k2-2=0,解得k=±1,
所以r=,
所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=8.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ-2cos θ-6sin θ+=0,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求曲線C的普通方程;
(2)若直線l與曲線C交于A,B兩點,點P的坐標(biāo)為(3,3),求|PA|+|PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2n+1+2p(n∈N*).
(1)求p的值及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足=(3+p)anbn,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人為研究中學(xué)生的性別與每周課外閱讀量這兩個變量的關(guān)系,隨機(jī)抽查了100名中學(xué)生,得到頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].
(Ⅰ)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的100名學(xué)生周課外閱讀時間的平均數(shù).
(Ⅱ)在樣本數(shù)據(jù)中,有20位女生的每周課外閱讀時間超過4小時,15位男生的每周課外閱讀時間沒有超過4小時.請畫出每周課外閱讀時間與性別列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“該校學(xué)生的每周課外閱讀時間與性別有關(guān)”.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016·無錫模擬)已知函數(shù)f(x)滿足,當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x.若g(x)=f(x)-mx-2m在區(qū)間(-1,1]上有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍是________________.
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【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面α與棱AB,AC,A1C1,A1B1分別交于點E,F(xiàn),G,H,且直線AA1∥平面α.有下列三個命題:①四邊形EFGH是平行四邊形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正確的命題有( )
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2018·日照一模)如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,給出下列結(jié)論:
①A、M、O三點共線;②A、M、O、A1不共面;③A、M、C、O共面;④B、B1、O、M共面.
其中正確結(jié)論的序號為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果x∈D,y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,則稱函數(shù)f(x)為“Ω函數(shù)”.給出下列四個函數(shù):①y=sin x;②y=2x;③y=;④f(x)=ln x.則其中“Ω函數(shù)”共有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=1的圖象在區(qū)間(0,e2]上有兩個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
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