Question

【題目】已知O為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對(duì)的邊).則O依次是的( )

A.內(nèi)心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、內(nèi)心

C.外心、內(nèi)心、重心、垂心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心

Answer 1

【答案】B

【解析】

對(duì)①，易得點(diǎn)O到點(diǎn)的距離相等即可判斷.

對(duì)②，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得， ，即可判斷.

對(duì)③，根據(jù)重心的性質(zhì)與數(shù)量積的運(yùn)算判斷即可.

對(duì)④，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而可知在三個(gè)角的角平分線上即可證明.

對(duì)于①，因?yàn)棰?/span>，

所以點(diǎn)O到點(diǎn)的距離相等，

即點(diǎn)O為的外心;

對(duì)于②，因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

即，同理，

即點(diǎn)O為的垂心;

對(duì)于③，因?yàn)?/span>，

所以，

設(shè)D為的中點(diǎn)，則，

即點(diǎn)O為的重心;

對(duì)于④，因?yàn)?/span>，

故，整理得.

又，

所以.因?yàn)?/span>分別為，方向的單位向量，故與的角平分線共線.同理與的角平分線共線，與的角平分線共線.故點(diǎn)O為的內(nèi)心.

故選：B