【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形為邊長為的正方形,△ABE和△BCF均為正三角形,在三棱錐中:
(I)證明:平面 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上,滿足, ,點(diǎn)在棱上,且,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ) .
【解析】試題分析:第一問取中點(diǎn),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得,根據(jù)題中所給的邊長,利用勾股定理求得,利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結(jié)果;第二問根據(jù)題中所給的條件建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),求得面的法向量,利用法向量所成角的余弦值得出結(jié)果;第三問利用向量間的關(guān)系,利用向量垂直的條件,利用向量的數(shù)量積等于0,得出所求的比值與的關(guān)系式,利用函數(shù)的有關(guān)知識求得結(jié)果.
(Ⅰ)方法1:
設(shè)的中點(diǎn)為,連接, . 由題意
, ,
因?yàn)樵?/span>中, , 為的中點(diǎn)
所以,
因?yàn)樵?/span>中, , ,
所以
因?yàn)?/span>, 平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以平面 平面
方法2:
設(shè)的中點(diǎn)為,連接, .
因?yàn)樵?/span>中, , 為的中點(diǎn)
所以,
因?yàn)?/span>, ,
所以≌≌
所以
所以
因?yàn)?/span>, 平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以平面 平面
方法3:
設(shè)的中點(diǎn)為,連接,因?yàn)樵?/span>中, ,
所以
設(shè)的中點(diǎn),連接, 及.
因?yàn)樵?/span>中, , 為的中點(diǎn)
所以.
因?yàn)樵?/span>中, , 為的中點(diǎn)
所以.
因?yàn)?/span>, 平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以
因?yàn)?/span>, 平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以平面 平面
(Ⅱ)由平面, ,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則
, , , ,
由平面,故平面的法向量為
由,
設(shè)平面的法向量為,則
由得:
令,得, ,即
由二面角是銳二面角,
所以二面角的余弦值為
(Ⅲ)設(shè), ,則
令
得
即,μ是關(guān)于λ的單調(diào)遞增函數(shù),
當(dāng)時, ,
所以
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小王想進(jìn)行理財投資,根據(jù)長期收益率市場頂測,投資A類產(chǎn)品和B類產(chǎn)品的收益分別為(萬元),它們與投資額x(萬元)存在如下關(guān)系式:,,小王準(zhǔn)備將200萬元資金投入A、B兩類理財產(chǎn)品,公司要求每類產(chǎn)品的投資金額不能低于25萬元
(1)若對B類產(chǎn)品的投資金額為x(萬元),求總收益y(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請你幫助小王預(yù)算如何分配投資資金,才能使總收益最大,并求出最大總收益.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會分會場之一落戶黔東南州黎平縣肇興侗寨,黔東南州某中學(xué)高二社會實(shí)踐小組就社區(qū)群眾春晚節(jié)目的關(guān)注度進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取80名群眾進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段: ,,,, , ,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求這80名群眾年齡的中位數(shù);
(Ⅱ)將頻率視為概率,現(xiàn)用隨機(jī)抽樣方法從該社區(qū)群眾中每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中年齡在的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,及數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某名校從年到年考入清華,北大的人數(shù)可以通過以下表格反映出來。(為了方便計算,將年編號為,年編為,以此類推……)
年份 | ||||||||||
人數(shù) |
(1)將這年的數(shù)據(jù)分為人數(shù)不少于人和少于人兩組,按分層抽樣抽取年,問考入清華、北大的人數(shù)不少于20的應(yīng)抽多少年?在抽取的這年里,若隨機(jī)的抽取兩年恰有一年考入清華、北大的人數(shù)不少于的概率是多少?;
(2)根據(jù)最近年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程,并用以預(yù)測年該?既肭迦A、北大的人數(shù)。(結(jié)果要求四舍五入至個位)
參考公式:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知O為內(nèi)一點(diǎn),若分別滿足①;②;③;④(其中為中,角所對的邊).則O依次是的( )
A.內(nèi)心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、內(nèi)心
C.外心、內(nèi)心、重心、垂心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場在一部向下運(yùn)行的手扶電梯終點(diǎn)的正上方豎直懸掛一幅廣告畫.如圖,該電梯的高AB為4米,它所占水平地面的長AC為8米.該廣告畫最高點(diǎn)E到地面的距離為10.5米,最低點(diǎn)D到地面的距離6.5米.假設(shè)某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米,他豎直站在此電梯上觀看DE的視角為θ.
(1)設(shè)此人到直線EC的距離為x米,試用x表示點(diǎn)M到地面的距離;
(2)此人到直線EC的距離為多少米時,視角θ最大?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn).(1)若為橢圓上兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率;
(2)若過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,設(shè)線段的長分別為,證明是定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在標(biāo)有“甲”的袋中有個紅球和個白球,這些球除顏色外完全相同.
(Ⅰ)若從袋中依次取出個球,求在第一次取到紅球的條件下,后兩次均取到白球的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)從甲袋中取出個紅球, 個白球,裝入標(biāo)有“乙”的空袋.若從甲袋中任取球,乙袋中任取球,記取出的紅球的個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電力公司在工程招標(biāo)中是根據(jù)技術(shù)、商務(wù)、報價三項評分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評分的,按照綜合得分的高低進(jìn)行綜合排序,綜合排序高者中標(biāo)。分值權(quán)重表如下:
總分 | 技術(shù) | 商務(wù) | 報價 |
100% | 50% | 10% | 40% |
技術(shù)標(biāo)、商務(wù)標(biāo)基本都是由公司的技術(shù)、資質(zhì)、資信等實(shí)力來決定的。報價表則相對靈活,報價標(biāo)的評分方法是:基準(zhǔn)價的基準(zhǔn)分是68分,若報價每高于基準(zhǔn)價1%,則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上扣0.8分,最低得分48分;若報價每低于基準(zhǔn)價1%,則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上加0.8分,最高得分為80分。若報價低于基準(zhǔn)價15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基礎(chǔ)上扣0.8分。在某次招標(biāo)中,若基準(zhǔn)價為1000(萬元)。甲、乙兩公司綜合得分如下表:
公司 | 技術(shù) | 商務(wù) | 報價 |
甲 | 80分 | 90分 | 分 |
乙 | 70分 | 100分 | 分 |
甲公司報價為1100(萬元),乙公司的報價為800(萬元)則甲,乙公司的綜合得分,分別是
A. 73,75.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com