【題目】已知橢圓C:的離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)M是橢圓C上異于A,B的一點(diǎn),直線AM與y軸交于點(diǎn)P.
(Ⅰ)若點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部,求直線AM的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q在y軸上,且AQ∥BM,求證:∠PFQ為定值.
【答案】(Ⅰ)kAM∈(,0)(0,);(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意可得得c2=a2﹣2,由e,解得即可出橢圓的方程,再根據(jù)點(diǎn)在其內(nèi)部,即可求得直線AM的斜率的取值范圍,(Ⅱ)題意F(,0),M(x0,y0),可得直線AM的方程,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),再根據(jù)直線平行,求出直線AQ的方程,求出Q的坐標(biāo),根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出0,即可證明.
Ⅰ)由題意可得c2=a2﹣2,∵e,∴a=2,c,∴橢圓的方程為1,
設(shè)P(0,m),由點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部,得m,又∵A(﹣2,0),
∴直線AM的斜率kAM∈(,),又M為橢圓C上異于A,B的一點(diǎn),
∴kAM∈(,0)(0,),
(Ⅱ)由題意F(,0),M(x0,y0),其中x0≠±2,則1,
直線AM的方程為y(x+2),令x=0,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,),
∵kBM=kAQ,∴直線AQ的方程為y(x+2),
令x=0,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,),由(,),(,),
∴20,∴⊥,即∠PFQ=90°,
故∠PFQ為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】六棱錐中,底面是正六邊形,底面,給出下列四個命題:
①線段的長是點(diǎn)到線段的距離;
②異面直線與所成角是;
③線段的長是直線與平面的距離;
④是二面角平面角.
其中所有真命題的序號是_______________.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)過曲線上任一點(diǎn)作與夾角為45°的直線,交于點(diǎn),求的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上下兩個焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn),的面積為,橢圓的長軸長是短軸長的倍.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),與橢園交于兩個不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù),使得,求的取值范圍,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于,拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,則拋物線上的動點(diǎn)到直線和距離之和的最小值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左、右焦點(diǎn)分別是、,離心率,過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn), 的周長為16.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為原點(diǎn),圓: ()與橢圓交于、兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn),若直線、與軸分別交于、兩點(diǎn),求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平行四邊形中,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),將沿折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且
(1)求證; 平面平面;
(2)若平面和平面的交線為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓(常數(shù)),P是曲線C上的動點(diǎn),M是曲線C的右頂點(diǎn),定點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
(1)若M與A重合,求曲線C的焦距.
(2)若,求的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,,,且,底面,為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求二面角 的余弦值;
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