在數(shù)列中,,且對任意.,,成等差數(shù)列,其公差為。
(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列()
(Ⅱ)若對任意,,,成等比數(shù)列,其公比為。
【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式,前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。
(Ⅰ)證明:由題設(shè),可得。
所以
=
=2k(k+1)
由=0,得
于是。
所以成等比數(shù)列。
(Ⅱ)證法一:(i)證明:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得
當(dāng)≠1時,可知≠1,k
從而
所以是等差數(shù)列,公差為1。
(Ⅱ)證明:,,可得,從而=1.由(Ⅰ)有
所以
因此,
以下分兩種情況進(jìn)行討論:
(1) 當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n=2m()
若m=1,則.
若m≥2,則
+
所以
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)n=2m+1()
所以從而···
綜合(1)(2)可知,對任意,,有
證法二:(i)證明:由題設(shè),可得
所以
由可知。可得,
所以是等差數(shù)列,公差為1。
(ii)證明:因為所以。
所以,從而,。于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得= ,故。
從而。
所以,由,可得
。
于是,由(i)可知
以下同證法一。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)
在數(shù)列中,,且對任意.,,成等差數(shù)列,其公差為。
(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列()
(Ⅱ)若對任意,,,成等比數(shù)列,其公比為。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年甘肅省高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(12分)在數(shù)列中,,且對任意都有成立,令(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)天津卷 題型:解答題
在數(shù)列中,,且對任意.,,成等差數(shù)列,其公差為。
(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列()
(Ⅱ)若對任意,,,成等比數(shù)列,其公比為。 證明:對任意,,有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆甘肅省天水一中高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(12分)在數(shù)列中,,且對任意都有成立,令(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和。
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