在數(shù)列中,,且對(duì)任意.,,成等差數(shù)列,其公差為。

(Ⅰ)若=,證明,成等比數(shù)列(

(Ⅱ)若對(duì)任意,,成等比數(shù)列,其公比為。 證明:對(duì)任意,,有

 

【答案】

 

【解析】(Ⅰ)證明:由題設(shè),可得。

所以

=

=2k(k+1)

=0,得

于是

所以成等比數(shù)列。

(Ⅱ)證法一:(i)證明:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得

當(dāng)≠1時(shí),可知≠1,k

從而

所以是等差數(shù)列,公差為1。

(Ⅱ)證明:,可得,從而=1.由(Ⅰ)有

所以

因此,

以下分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)   當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2m()

若m=1,則.

若m≥2,則

+

所以

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2m+1(

所以從而···

綜合(1)(2)可知,對(duì)任意,,有

證法二:(i)證明:由題設(shè),可得

所以

可知。可得,

所以是等差數(shù)列,公差為1。

(ii)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052022290257815291/SYS201205202230372343250655_DA.files/image045.png">所以。

所以,從而,。于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ,故。

從而。

所以,由,可得

。

于是,由(i)可知

以下同證法一。

 

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在數(shù)列中,,且對(duì)任意.,成等差數(shù)列,其公差為。

(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列(

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在數(shù)列中,,且對(duì)任意.,成等差數(shù)列,其公差為。

(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列(

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(12分)在數(shù)列中,,且對(duì)任意都有成立,令(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

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