【題目】如圖在棱錐P﹣ABCD中,ABCD為矩形,PD⊥面ABCD,PB=2,PB與面PCD成45°角,PB與面ABD成30°角.
(1)在PB上是否存在一點E,使PC⊥面ADE,若存在確定E點位置,若不存在,請說明理由;
(2)當(dāng)E為PB中點時,求二面角P﹣AE﹣D的余弦值.

【答案】
(1)解:法一:要證明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需 即可,

所以由 ,即存在點E為PC中點

法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣XYZ,

由題意知PD=CD=1, ,設(shè) ,∴ ,

,得 ,

即存在點E為PC中點


(2)解:由(1)知D(0,0,0), , ,P(0,0,1) , ,

設(shè)面ADE的法向量為 ,面PAE的法向量為

由的法向量為 得,

同理求得 所以

故所求二面角P﹣AE﹣D的余弦值為


【解析】(1)法一:要證明PC⊥面ADE,只需證明AD⊥PC,通過證明 即可,然后推出存在點E為PC中點.法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣XYZ,設(shè) ,通過 =0得到 ,即存在點E為PC中點. (2)由(1)知求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空間向量的數(shù)量積.求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+x在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是(
A.[﹣2,+∞)
B.[﹣3,+∞)
C.[0,+∞)
D.(﹣∞,﹣2)

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【題目】將函數(shù) 的圖象向右平移 個周期后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為f(x),則函數(shù)f(x)的單
調(diào)遞增區(qū)間(
A.
B.
C.
D.

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【題目】某商場進行有獎促銷活動,顧客購物每滿500元,可選擇返回50元現(xiàn)金或參加一次抽獎,抽獎規(guī)則如下:從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球,摸到紅球就可獲得100元現(xiàn)金獎勵,假設(shè)顧客抽獎的結(jié)果相互獨立.
(Ⅰ)若顧客選擇參加一次抽獎,求他獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率;
(Ⅱ)某顧客已購物1500元,作為商場經(jīng)理,是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金,還是選擇參加3次抽獎?說明理由;
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(1)求證:PC⊥BD;
(2)求直線BE與PA所成角的余弦值.

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