Question

【題目】已知是橢圓上關(guān)于原點對稱的任意兩點，且點都不在 軸上.

（1）若，求證: 直線和的斜率之積為定值；

（2）若橢圓長軸長為，點在橢圓上，設(shè)是橢圓上異于點的任意兩點，且.問直線是否過一個定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線恒定過點.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，則， 將坐標(biāo)帶入橢圓化簡即可；

（2）設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立得，設(shè)，由,韋達(dá)定理代入得，直線恒定過點，當(dāng)直線斜率，易得成立.

試題解析：

(1) 由題意設(shè)，則，所以有，又因為

,所以,(定值).

(2) 直線過點，理由如下: ① 當(dāng)直線斜率，易得,

直線的方程為. 直線過點.②由已知，橢圓方程為，設(shè)直線，則，設(shè)，則,，

， ， 或 (舍去), 方程為，則直線恒定過點，

綜上所述，直線恒定過點.