已知函數(shù)
.
(I)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)
上是減函數(shù),求實數(shù)
的最小值;
(III)若
,使
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
試題分析:由已知函數(shù)
的定義域均為
,且
.
(Ⅰ)函數(shù)
,
當(dāng)
時,
.所以函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間是
. 3分
(Ⅱ)因
f(
x)在
上為減函數(shù),故
在
上恒成立.
所以當(dāng)
時,
.
又
,
故當(dāng)
,即
時,
,所以
,故
所以
的最小值為
.
(Ⅲ)“若
,使
成立”等價于
“當(dāng)
時,有
”,
有(Ⅱ),當(dāng)
時,有
,
,
問題等價于:“當(dāng)
時,有
”
當(dāng)
時,由(Ⅱ),
在
上為減函數(shù).
則
,故
.
當(dāng)
時,由于
在
上為增函數(shù),
故
的值域為
,即
.
由
的單調(diào)性和值域知,
唯一
,使
,且滿足:
當(dāng)
時,
,
為減函數(shù);
當(dāng)
時,
,
為增函數(shù);
所以,
=
,
.
所以,
,與
矛盾,不合題意.
綜上,
.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查恒成立問題,同時考查不等式的證明,解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,請用定義證明
在
上為減函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)
的一個單調(diào)遞增區(qū)間是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(
)
(1)寫出函數(shù)
的定義域;(2)討論函數(shù)
的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(Ⅰ) 當(dāng)
時,求函數(shù)
的極值;
(Ⅱ)當(dāng)
時,討論函數(shù)
的單調(diào)性.
(Ⅲ)若對任意
及任意
,恒有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
.
(1)求
f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)
x∈[-2,2]時,不等式
f(x)>
m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)
在
上的最大值和最小值分別是 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
判斷函數(shù)f(x)=
在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
①當(dāng)
時,求函數(shù)在
上的最大值和最小值;
②討論函數(shù)的單調(diào)性;
③若函數(shù)
在
處取得極值,不等式
對
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍。
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