【題目】已知函數(shù).
(1)若,分析的單調(diào)性.
(2)若對(duì),都有恒成立,求的取值范圍;
(3)證明:對(duì)任意正整數(shù)均成立,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)減區(qū)間;(2);(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可;
(2)對(duì)求導(dǎo)后,再根據(jù)的取值進(jìn)行分情況討論即可;
(3)題目可變形為證明不等式恒成立,又由(1)可得在恒成立,則令,即有,據(jù)此即可推出結(jié)論.
(1),,,,
故在上恒成立,
所以的單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)減區(qū)間.
(2).
∵,∴,
故:①當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
而,∴,不符合題意;
②當(dāng)時(shí),即,在上單調(diào)遞增,
而,∴符合題意;
③當(dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞減,
而,∴此時(shí),不符合題意;
綜上所述,的取值范圍為.
(3)證明:要證明,
等價(jià)于證明,
由(1)可得在恒成立,
令,,則,
∴,
∴
∴成立,
∴成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若直線是函數(shù)的切線,求實(shí)數(shù)的值;
(3)當(dāng)時(shí),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,點(diǎn)在以為直徑的圓上,平面平面,點(diǎn)在線段上,且,,,,點(diǎn)為的重心,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若對(duì)任意的,都有恒成立,求a的取值范圍;
(3)函數(shù)的圖像上是否存在兩點(diǎn),且,使得直線AB的斜率k滿足:?若存在,求出與之間的關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),曲線的直角坐標(biāo)方程為,將曲線上的點(diǎn)向下平移1個(gè)單位,然后橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到曲線.
(1)求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線和曲線相交于兩點(diǎn),求三角形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且直線與以線段為直徑的圓交于另一點(diǎn)(異于點(diǎn)),若,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球,分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字,有放回地從中任意摸出一個(gè)小球,直到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間(含1和4)取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù):
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估計(jì),恰好第三次就停止摸球的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃設(shè)計(jì)建造一條2000米長(zhǎng)的水渠,其橫斷面如圖所示.其中,底部是半徑為1米的圓弧,上部是有一定傾角的線段與,渠深為米,且圓弧的圓心為O在上,,,,.據(jù)測(cè)算,水渠底部曲面每平方米的造價(jià)為百元,上部矩形壁面每平方米的造價(jià)為1百元,其他費(fèi)用忽略不計(jì).設(shè),.
(1)試用表示水渠建造的總費(fèi)用(單位:百元);
(2)試確定的值,使得建造總費(fèi)用最低.
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