Question

過(guò)點(diǎn)（2-

1

n

，0）（n∈N^*）且方向向量為（2，1）的直線交橢圓

x2

4

+y²=1于A_n，B_n兩點(diǎn)，記原點(diǎn)為O，△OA_nB_n面積為S_n，則

lim

n→∞

S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),極限及其運(yùn)算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可得直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|A_nB_n|，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)O到直線A_nB_n的距離d_n．利用三角形的面積計(jì)算公式可得S_n=

1

2

dn|AnBn|．再利用極限的運(yùn)算法則即可得出．

解答： 解：如圖所示，
過(guò)點(diǎn)（2-

1

n

，0）（n∈N^*）且方向向量為（2，1）的直線l_n的方程為：y=

1

2

(x-2+

1

n

)．
聯(lián)立

y= 1 2 (x-2+ 1 n ) x2+4y2=4

，化為2x2+2(

1

n

-2)x+

1

n2

-

4

n

=0．
∴x₁+x₂=2-

1

n

，x₁x₂=

1

2

(

1

n2

-

4

n

)．
∴|A_nB_n|=

(1+ 1 4 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 •[(2- 1 n )2-2( 1 n2 - 4 n )]

=

5 4 (4- 1 n2 + 4 n )

．
原點(diǎn)O到直線A_nB_n的距離d_n=

|0-1+ 1 2n |

1+ 1 4

=

2- 1 n

5

．
∴S_n=

1

2

dn|AnBn|=

1

2

×

2- 1 n

5

×

5 4 (4- 1 n2 + 4 n )

．
∴

lim

n→∞

Sn=

1

2

×

2-0

5

×

5 4 (4-0+0)

=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的方向向量與斜率的關(guān)系、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、極限的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力和推理能力，屬于難題．