Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足：
①f（x+2）=f（x）；
②當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=

3

x．
若P₁，P₂，…，P₁₀是f（x）在x∈[3，4]圖象上不同的10個(gè)點(diǎn)，設(shè)A（-2，0），B（1，

3

），m₁=

AB

•

AP1

（i=1，2，…，10），則m₁+m₂+…+m₁₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由①f（x+2）=f（x）求出函數(shù)f（x）的最小正周期為2，由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，②當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=

3

x．求出函數(shù)f（x）在[3，4]上的解析式，
再應(yīng)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出m_i，從而求出則m₁+m₂+…+m₁₀的和．

解答： 解：由①f（x+2）=f（x）知函數(shù)f（x）的最小正周期為2，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=

3

x，
∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-

3

x，
令3≤x≤4，則-1≤x-4≤0，f（x-4）=-

3

（x-4）=

3

（4-x），
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為2，∴f（x-4）=f（x），
∴f（x）=

3

（4-x），3≤x≤4，
又A（-2，0），B（1，

3

），m_i=

AB

•

API

（i=1，2，…，10），
∴m_i=（3，

3

）•（x_i+2，

3

（4-x_i））=3x_i+6+12-3x_i=18，
∴m₁+m₂+…+m₁₀=18×10=180．
故答案為：180．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用，以及函數(shù)的周期性及應(yīng)用，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，是一道基礎(chǔ)題．