【題目】在中，滿足：，M是的中點.

（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若O是線段上任意一點，且，求的最小值：

（3）若點P是內(nèi)一點，且，，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用向量的數(shù)量積公式得到，利用向量的數(shù)量積公式展開，求出向量與向量的夾角的余弦值；

（2）通過解三角形求出的長，設(shè)，則，利用向量的平行四邊形法則得到而，利用向量的數(shù)量積公式將表示成關(guān)于的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值求出最小值；

（3）設(shè)，將已知條件利用向量的數(shù)量積公式表示成關(guān)于的三角函數(shù)，將平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，然后利用基本不等式求出其最小值．

解：（1）設(shè)向量，與向量的夾角為

，

令，.

（2），，

設(shè)，則，而，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是.

（3）設(shè)，

，，，

，

同理：，

當(dāng)且僅當(dāng)時，

所以.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，，點在上，且，將沿折起，使得平面平面（如圖），為中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

（3）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，所得情況如下頻率分布直方圖.

（1）圖中縱坐標(biāo)處刻度不清，根據(jù)圖表所提供的數(shù)據(jù)還原；

（2）根據(jù)圖表的數(shù)據(jù)按分層抽樣，抽取個元件，壽命為之間的應(yīng)抽取幾個；

（3）從（2）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個元件，求事件“恰好有一個壽命為，一個壽命為”的概率.

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【題目】如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點在上，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

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【題目】下列有四個關(guān)于命題的判斷，其中正確的是（）

A.命題“，”是假命題

B.命題“若，則或”是真命題

C.命題“，”的否定是“，”

D.命題“在中，若，則是鈍角三角形”是真命題

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【題目】已知圓與橢圓相交于點M（0，1），N（0，-1），且橢圓的離心率為.

（1）求的值和橢圓C的方程；

（2）過點M的直線交圓O和橢圓C分別于A，B兩點.

①若，求直線的方程；

②設(shè)直線NA的斜率為，直線NB的斜率為，問:是否為定值? 如果是，求出定值；如果不是，說明理由.

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【題目】已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若不等式對任意恒成立，求k的取值范圍．

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【題目】在直三棱柱中，、、、分別為中點，.

（1）求證：平面．

（2）求二面角的余弦值．

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【題目】工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運費與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運費為20萬元，倉儲費為5萬元.求：工廠和倉庫之間的距離為多少千米時，運費與倉儲費之和最小，最小為多少萬元.

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