Question

8．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是圓x²+y²-4x=0的圓心．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點(diǎn)，若l與拋物線、圓依次交于A，B，C，D，四個(gè)點(diǎn)，求|AB|+|CD|．

Answer 1

分析 （1）求得圓心坐標(biāo)及半徑，由$\frac{p}{2}=2$，即可求得p=4，即可求得拋物線的方程；
（2）法一，由由焦點(diǎn)弦的公式$|{AD}|=\frac{2p}{{{{sin}^2}θ}}$，由tanθ=2，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，|AB|+|CD|=|AD|-2r；
法二，將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=6，|AB|+|CD|=|AD|-2r=x₁+x₂+p-2r，即可求得|AB|+|CD|．

解答 解：（1）圓（x-2）²+y²=4，圓心F（2，0），半徑r=2，
∴$\frac{p}{2}=2$，即p=4，
∴拋物線的方程為y²=8x；
（2）法一：由焦點(diǎn)弦的公式$|{AD}|=\frac{2p}{{{{sin}^2}θ}}$，
則|AB|+|CD|=|AD|-2r=$\frac{8}{{{{sin}^2}θ}}-4=\frac{8}{{{{（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）}^2}}}-4=6$．
法二：A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），將直線方程y=2（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=2（x-2）\end{array}\right.$，
消y得x²-6x+4=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=6，
則|AB|+|CD|=|AD|-2r=x₁+x₂+p-2r=6+4-4=6
∴|AB|+|CD|=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查圓的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，焦點(diǎn)弦公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．