Question

13．（1）解不等式|x-1|+|x-4|≥5．
（2）求函數(shù)y=|x-1|+|x-4|+x²-4x的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過當x＜1時，當1≤x≤4時，當x＞4時，去掉絕對值符號，求解不等式的解集即可．
（2）利用絕對值不等式以及二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）當x＜1時，1-x+4-x≥5，得x≤0，此時x≤0；
當1≤x≤4時，x-1+4-x≥5，得3≥5，此時x∈～；
當x＞4時，x-1+x-4≥5，得x≥5，此時x≥5．
綜上所述，原不等式的解集是（-∞，0]∪[5，+∞）．          …（5分）
（2）因為|x-1|+|x-4|≥|（x-1）-（x-4）|=3，
當且僅當1≤x≤4時取等號；
x²-4x=（x-2）²-4≥-4，當且僅當x=2時取等號．
故|x-1|+|x-4|+x²-4x≥3-4=-1，當x=2時取等號．
所以y=|x-1|+|x-4|+x²-4x的最小值為-1．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．