如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=
π
2
,AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin
5
5
,PA⊥面ABCD,PA=a.求:
(1)二面角P-CD-A的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示);
(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.
分析:(1)作AE⊥直線CD于E連PE.由PA⊥面ABCD,根據(jù)三垂線定理知PE⊥CD.可得∠PEA是二面角P-CD-A的平面角.利用已知,分別在Rt△AED和Rt△PAE中求出即可.
(2)作AH⊥PB于H.利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得出AH⊥面PBC,因此AH的長(zhǎng)為點(diǎn)A到面PBC的距離.在等腰Rt△PAB中求出即可.
解答:解:(1)作AE⊥直線CD于E連PE.
由PA⊥面ABCD據(jù)三垂線定理知PE⊥CD.∴∠PEA是二面角P-CD-A的平面角.
在Rt△AED中,AD=3a,∠ADE=arcsin
5
5
.∴AE=AD•sin∠ADE=
3
5
5
a
在Rt△PAE,中tan∠PEA=
PA
AE
=
5
3
.∴∠PEA=arctg
5
3

即二面角P-CD-A的大小為arctg
5
3

(2)作AH⊥PB于H.
由PA⊥面ABCD,∵BC⊥AB,∴PB⊥BC.
又PB∩AB=B,∴BC⊥面PAB.
∴BC⊥AH.
∴AH⊥面PBC,AH的長(zhǎng)為點(diǎn)A到面PBC的距離.
在等腰Rt△PAB中,AH=
2
2
a.
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離是
2
2
a.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線定理、二面角的作法、直角三角形的邊角關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離求法等是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,梯形ABCD中,CD∥AB,AD=DC=CB=
12
AB,E是AB的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使點(diǎn)A折到點(diǎn)P的位置,且二面角P-DE-C的大小為120°.
(1)求證:DE⊥PC;
(2)求直線PD與平面BCDE所成角的大;
(3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,PA⊥平面ABCD,E是PD的中點(diǎn),AB=BC=1,PA=AD=2.
(1)求證:CE∥平面PAB;
(2)求證:CD⊥平面PAC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,梯形ABCD中,CD∥AB,AD=DC=CB=
12
AB=a
,E是AB的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使點(diǎn)A折到點(diǎn)P的位置,且二面角P-DE-C的大小為120°
(1)求證:DE⊥PC;
(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離;
(3)求二面角D-PC-B的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P是BC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)
PD
PA
最小時(shí),tan∠APD的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AD∥BC,E,F(xiàn)是AB邊的四等分點(diǎn),AB=4,BC=BF=AE=1,AD=3,P為在梯形區(qū)域內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),滿足PE+PF=AB,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為Γ.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求軌跡Γ在該坐標(biāo)系中的方程;
(2)判斷軌跡Γ與線段DC是否有交點(diǎn),若有交點(diǎn),求出交點(diǎn)位置;若沒(méi)有交點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)證明D,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,并求出該圓的方程.

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