如圖直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AD∥BC,E,F(xiàn)是AB邊的四等分點(diǎn),AB=4,BC=BF=AE=1,AD=3,P為在梯形區(qū)域內(nèi)一動點(diǎn),滿足PE+PF=AB,記動點(diǎn)P的軌跡為Γ.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求軌跡Γ在該坐標(biāo)系中的方程;
(2)判斷軌跡Γ與線段DC是否有交點(diǎn),若有交點(diǎn),求出交點(diǎn)位置;若沒有交點(diǎn),請說明理由;
(3)證明D,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,并求出該圓的方程.
分析:(1)取AB中點(diǎn)為O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,結(jié)合已知及橢圓的定義,可得動點(diǎn)P的軌跡為以E,F(xiàn)焦點(diǎn),長軸長為4的上半橢圓,進(jìn)而得到軌跡Γ在該坐標(biāo)系中的方程;
(2)在(1)所建立的坐標(biāo)系中,求出直線DC的方程,代入橢圓方程后,判斷方程解的組數(shù),可得結(jié)論;
(3)解法一:記y軸與DC交點(diǎn)為G,由y軸是EF的中垂線,即|GE|=|GF|,結(jié)合OG為直角梯形中位線,|GD|=|GC|,求出G點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而可得四邊形DEFC外接圓方程;
(3)解法二:要證D,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,設(shè)圓心為G.即證:|GD|=|GE|=|GF|=|GC|,進(jìn)而可得四邊形DEFC外接圓方程.
解答:解:(1)取AB中點(diǎn)為O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,…(1分)
那么A(-2,0),E(-1,0),F(xiàn)(1,0),B(2,0)
由于PE+PF=AB=4,且EF=2<4…(2分)
那么動點(diǎn)P的軌跡為以E,F(xiàn)焦點(diǎn),長軸長為4的上半橢圓,
那么橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1 (0≤y≤
3
)
…(4分)
(2)在(1)所建立的坐標(biāo)系中,點(diǎn)D(-2,3),C(2,1)
由兩點(diǎn)式得到直線DC的方程為:x+2y-4=0,…(6分)
把x=4-2y代入橢圓方程并整理得4y2-12y+9=0,解得y=
3
2
…(8分)
因?yàn)?span id="ioaoqqk" class="MathJye">0<
3
2
3
軌跡Γ與線段DC有且只有一個(gè)交點(diǎn)(1,
3
2
),…(9分)
(3)記y軸與DC交點(diǎn)為G,由于y軸是EF的中垂線,那么|GE|=|GF|
又OG為直角梯形中位線,則|GD|=|GC|,且OG=
1
2
(AD+BC)=2
,故G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)(10分)
計(jì)算可得|GC|=
5
 , |GF|=
5
,故DEFC四點(diǎn)共圓,…(12分)
且該圓以G(0,2)為圓心,半徑為
5
故圓的方程為x2+(y-2)2=5…(14分)
(3)另解:要證D,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,設(shè)圓心為G.即證:|GD|=|GE|=|GF|=|GC|.
由EF的垂直平分線:x=0,DC的垂直平分線:2x-y+2=0…(10分)
聯(lián)立方程組
x=0
2x-y+2=0
解得
x=0
y=2
,即G(0,2)…(12分)
|GE|=
12+22
=
5
,|GC|=
(0-1)2+22
=
5

所以,圓G的方程為x2+(y-2)2=5…(14分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,熟練掌握橢圓的定義,直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判定方法及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)直角梯形ABCD中,∠B=90°,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿B→C→D→A的路線運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x,△APB的面積為f(x),若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則△ABC的面積為( 。
A、10B、16C、18D、32

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AM
AN
的最大值是( 。

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3
,EF=2.
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