Question

16．已知定義域?yàn)镽上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-1|}，x≠1}\\{2，x=1}\end{array}\right.$，函數(shù)h（x）=f²（x）+bf（x）+c（其中b、c為常數(shù)）有5個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，下列命題不正確的是（　　）

• A． 4+2b+c=0
• B． b＜0，c＞0
• C． （x₁-1）（x₂-1）（x₃-1）（x₄-1）（x₅-1）=0
• D． x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10

Answer 1

分析 先根據(jù)一元二次方程根的情況可判斷f（2）一定是一個(gè)解，再假設(shè)f（x）的一解為A可得到x₁+x₂=4，同理可得到x₃+x₄=4，進(jìn)而可得到x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，即可得到最后答案．

解答 解：函數(shù)h（x）=f²（x）+bf（x）+c，對于f²（x）+bf（x）+c=0來說，f（x）最多只有2解，
又f（x）=$\frac{1}{|x-2|}$（x≠2），函數(shù)關(guān)于x=2對稱，當(dāng)x不等于2時(shí)，x最多四解．
而題目要求5解，即可推斷f（2）為一解，
假設(shè)f（x）的另一個(gè)解為A，得f（x）=$\frac{1}{|x-2|}$=A；
根據(jù)函數(shù)y═$\frac{1}{|x-2|}$的對稱性得出：x₁=2+A，x₂=2-A，x₁+x₂=4；
同理：x₃+x₄=4；
所以：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=4+4+2=10；
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次方程根的情況和含有絕對值的函數(shù)的解法，考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用能力．