Question

已知點(diǎn)P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直線l過點(diǎn)P且與C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=4

3

時(shí)，求直線l的方程；
（2）求過點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）分類討論，利用直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)論；
（2）利用P（0，5），C（-2，6）滿足：

PQ

⊥

CQ

，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：x=0，
由y²-12y+24=0得：y=6±2

3

，滿足|MN|=4

3

則l的方程為：x=0；
②設(shè)l：y=kx+5即：kx-y+5=0
∵|MN|=4

3

，圓C：（x+2）²+（y-6）²=16
∴

|-2k-6+5|

k2+1

=2
∴k=

3

4

∴l(xiāng)：3x-4y+20=0．
于是l：3x-4y+20=0或x=0．
（2）設(shè)Q（x，y）
∵P（0，5），C（-2，6）滿足：

PQ

⊥

CQ

，

PQ

=(x，y-5)，

CQ

=(x+2，y-6)
∴（x+2）x+（y-6）（y-5）=0，即Q的軌跡方程為：x²+y²+2x-11y+30=0．（軌跡在圓C內(nèi)）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．