Question

已知點(diǎn)P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段AB長(zhǎng)為4

3

．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求以線段AB為直徑的圓Q方程．

Answer 1

分析：（I）求圓C的方程：x²+y²+4x-12y+24=0，我們可以求出圓心C的坐標(biāo)和圓的半徑r，結(jié)合直線l被圓C截得的線段AB長(zhǎng)，代入圓的弦長(zhǎng)公式，可得弦心距d，再由點(diǎn)到直線距離公式，可求出直線l的斜率，由直線l過點(diǎn)P，可得直線的點(diǎn)斜式方程．解答時(shí)要注意直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意．
（II）由（I）分直線l的斜率不存在時(shí)，和直線l的斜率存在時(shí)，兩種情況，分析求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合線段AB長(zhǎng)為4

3

（圓的直徑）得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由已知得（x+2）²+（y-6）²=16
∴圓C的圓心C（-2，6），半徑為4．…（2分）
由已知|AB|=4

3

，|AC|=4．
設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，
∴|AD|=2

3

，
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．…（4分）
設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，得k=

3

4

，…（7分）
此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0．
又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x=0．
∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0．…（10分）
（Ⅱ）直線l的方程為x=0時(shí)，圓心為（0，6），半徑為

1

2

|AB|=2

3

．
所以圓Q方程為x²+（y-6）²=12．…（12分）
直線l的方程為3x-4y+20=0時(shí)，AB中垂線方程為4x+3y+m=0．
又AB中垂線方程過圓C的圓心C（-2，6），
所以4×（-2）+3×6+m=0，即m=-10，
所以AB中垂線方程為4x+3y-10=0，
所以線段AB中點(diǎn)D（-0.8，4.4），半徑為

1

2

|AB|=2

3

．
所以圓Q方程為（x+0.8）²+（y-4.4）²=12．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，求直線的方程，求圓的方程，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．