已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4
3
,求l的方程.
分析:將圓V方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找出圓心C坐標(biāo)與半徑r,根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形,取AB的中點(diǎn)為D,連接CD,可得出CD垂直于AB,得出|AD|與|AC|的長(zhǎng),利用勾股定理求出|CD|的長(zhǎng),然后分兩種情況考慮:(i)直線l斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,表示出l方程,由C到l的距離為2,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出k的值,確定出此時(shí)l的方程;(ii)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線x=0滿足題意,綜上,得到所求的直線方程.
解答:解:將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得:(x+2)2+(y-6)2=16,
∴圓心C坐標(biāo)為(-2,6),半徑r=4,
如圖所示,|AB|=4
3
,取AB的中點(diǎn)D,連接CD,可得CD⊥AB,連接AC、BC,
∴|AD|=
1
2
|AB|=2
3
,|AC|=4,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:|CD|=2,
分兩種情況考慮:
(i)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為k,
則直線的方程為y-5=kx,即kx-y+5=0,
由點(diǎn)C到直線AB的距離公式,得
|-2k-6+5|
k2+(-1)2
=2,
解得:k=
3
4

當(dāng)k=
3
4
時(shí),直線l的方程為3x-4y+20=0;
(ii)直線l的斜率不存在時(shí),也滿足題意,此時(shí)方程為x=0,
綜上,所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0.
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有:垂徑定理,勾股定理,點(diǎn)到直線的距離公式,利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想,是一道綜合性較強(qiáng)的試題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直線l過(guò)P且與⊙O的圓心相距為2,求l的方程;
(2)求過(guò)P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P且與C交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=4
3
時(shí),求直線l的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)Q的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直線ι過(guò)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4
3
,求ι的方程;
(2)求過(guò)P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線段AB長(zhǎng)為4
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(Ⅰ)求直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn),求以線段AB為直徑的圓Q方程.

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