Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將△、△分別沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）由，證出平面，進(jìn)而證出結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)對(duì)稱(chēng)可判斷即為所求，由（1）可證△為直角三角形，再求出邊長(zhǎng)即可；方法二：建系，求出平面和平面的法向量，兩法向量的夾角的余弦值即為所求.
試題解析：（1）在正方形中，有，              1分
則，                                              2分
又                                                        3分
∴平面                                                      4分
而平面，∴                                        5分
（2）方法一：連接交于點(diǎn)，連接                           6分
∵在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，，
∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，
且                                                            7分
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，∴                8分
∴為二面角的平面角         9分

由（1）可得，
∴△為直角三角形       10分
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴，，
∴，，
又                       11分
∴                                    12分
∴                                         13分
∴二面角的余弦值為                                       14分
方法二：∵正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴                                                            6分
∴，∴                                    7分

由（1）得平面，
∴分別以，，為，，
軸建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系，             8分
則，，
，         9分
∴，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，
可取                                                  11分
又平面的一個(gè)法向量可取                          12分
∴                         13分
∴二面角的余弦值為.                                 14分.