Question

已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2.
（1）求圓的方程；
（2）若為圓內(nèi)一點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）設(shè)所求圓的一般方程為，再令、，分別求出圓在軸、軸上的截距之和，再有已知圓兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2.得出的關(guān)系式，由于，兩點(diǎn)在圓上，聯(lián)立方程組，解方程組求出系數(shù)，從而求得圓的方程；（2）考查圓的最短弦，實(shí)際上當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)且與過(guò)此點(diǎn)的圓的半徑垂直時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)最短，求出直線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式求出方程.
試題解析：（1）設(shè)圓的方程為，
令，得，則圓在軸上的截距之和為；
令，得，則圓在軸上的截距之和為；
由題意有，即，又，兩點(diǎn)在圓上，
，解得，故所求圓的方程為.
（2）由（1）知，圓的方程為，圓心為，
當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)且與過(guò)此點(diǎn)的圓的半徑垂直時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)最短，
此時(shí)，，
于是直線的方程為，即.