Question

【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和， .

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析， ；（2）.

【解析】試題分析：當(dāng)數(shù)列提供與、之間的遞推關(guān)系時(shí)，要數(shù)列是等差數(shù)列，只需利用，轉(zhuǎn)化為、之間的關(guān)系，證明某數(shù)列是等差數(shù)列，就是證明第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)分析給證明提供一個(gè)暗示，有了證明的目標(biāo)，從遞推關(guān)系式向著這個(gè)目標(biāo)進(jìn)行等價(jià)變形，就可得出所要證明的式子，達(dá)到證明的目的；已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式分兩步，第一步n=1 時(shí)，求出首項(xiàng)，第二步，當(dāng)時(shí)利用前n項(xiàng)和與前n-1項(xiàng)和作差求出第n項(xiàng)，若首項(xiàng)滿足后者，則可書寫統(tǒng)一的通項(xiàng)公式，若首項(xiàng)不滿足，則通項(xiàng)公式要寫成分段函數(shù)形式，有關(guān)數(shù)列求和問題，主要方法有倒序相加法、錯(cuò)位相減法、分組求和法、公式法等，要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的形式特點(diǎn)采用相應(yīng)的方法求和.

試題解析：

（1），∴，

即， ，

∴數(shù)列是等差數(shù)列．

由上知數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，

∴，∴．

∴．

（或由得）,

由題知， ,

綜上， .

（2）由（1）知 ，

∴，

∴．