Question

在無窮數列中，，對于任意，都有，. 設， 記使得成立的的最大值為.
（1）設數列為1，3，5，7，，寫出，，的值；
（2）若為等比數列，且，求的值；
（3）若為等差數列，求出所有可能的數列.

Answer 1

（1），，；（2）；（3）得

試題分析：（1）根據使得成立的的最大值為，，則，，則，，則，這樣就寫出，，的值；（2）確定，，，，，，分組求和，即可求的值；（3）若為等差數列，先判斷，再證明，即可求出所有可能的數列．
（1） ，，.                                       3分
（2）因為為等比數列，，，
所以，                                                  4分
因為使得成立的的最大值為，
所以，，，，
，，                        6分
所以.                                   8分
（3）由題意，得，
結合條件，得.                                       9分
又因為使得成立的的最大值為，使得成立的的最大值為，
所以，.                                    10分
設，則.
假設，即，
則當時，；當時，.
所以，.
因為為等差數列，
所以公差，
所以，其中.
這與矛盾，
所以.                                                     11分
又因為，
所以，
由為等差數列，得，其中.                         12分
因為使得成立的的最大值為，
所以，
由，得.                                             13分