Question

如果數列同時滿足：（1）各項均不為，（2）存在常數k, 對任意都成立，則稱這樣的數列為“類等比數列” .由此等比數列必定是“類等比數列” .問：
（1）各項均不為0的等差數列是否為“類等比數列”？說明理由.
（2）若數列為“類等比數列”，且(a，b為常數)，是否存在常數λ，使得對任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，請舉出反例．
（3）若數列為“類等比數列”，且，(a，b為常數)，求數列的前n項之和；數列的前n項之和記為，求.

Answer 1

（1）是，（2），（3）

試題分析：（1）解決新定義問題，關鍵根據“定義”列條件，根據“定義”判斷. 因為為各項均不為的等差數列，故可設（d、b為常數），由得得為常數，所以各項均不為0的等差數列為“類等比數列”，（2）存在性問題，通常從假設存在出發(fā)，列等量關系，將是否存在轉化為對應方程是否有解. 先從必要條件入手，再從充分性上證明：因為所以所以即得所以
而（3）由（2）易得，均為公比為的等比數列，，，
[解] （1）因為為各項均不為的等差數列，故可設（d、b為常數）                                 1分
由得     2分
得為常數，所以各項均不為0的等差數列為“類等比數列”  4分
（2）存在常數使 （只給出結論給2分）
（或從必要條件入手）
證明如下：因為所以
所以即    6分
由于此等式兩邊同除以
得                              8分
所以
即當都有 
因為所以
所以
所以對任意都有此時    10分
（3） 11分

均為公比為的等比數列                      12分
                    14分
               16分
18分