Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），且當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1．若x∈[-1，4]時，關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得出函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)且x∈（-1，1）時，f（x）=2^|x|-1，方程f（x）-log_a（x+2）=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)即兩函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，利用f（1）=f（3）=1，關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，可得log_a（1+2）＜1且log_a（3+2）＞1，即可得出答案．

解答： 解：f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1
∴x∈（-1，1）時，f（x）=2^|x|-1
又對任意的x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），則f（x）=f（x+2），故周期是2
方程f（x）-log_a（x+2）=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)即兩函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）的圖象的交點(diǎn)個數(shù)
由f（1）=f（3）=1，關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，
可得log_a（1+2）＜1且log_a（3+2）＞1
∴3＜a＜5．
故答案為：（3，5）．

點(diǎn)評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的周期性與偶函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．