Question

【題目】已知數(shù)列滿足：

（1）求：，

（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（3）若且對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見詳解；（3）

【解析】

（1）通過賦值，結(jié)合已知條件，即可求得；

（2）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，進行歸納總結(jié)，再遵循數(shù)學(xué)歸納法的證明過程即可證明；

（3）先求，將問題轉(zhuǎn)換為恒成立問題，再求最值即可.

（1）

因為，故

（2）由（1）猜想

①當(dāng)時，，顯然成立

②假設(shè)當(dāng)時成立，即

則當(dāng)時，

即證當(dāng)時候，猜想成立；

綜上所述：對任意正整數(shù)都成立.

（3）因為，故：

若對于恒成立，則只需滿足恒成立即可

當(dāng)時，恒成立滿足題意；

當(dāng)時，顯然不可能成立；

當(dāng)時，對稱軸

故在單調(diào)遞減，

故

解得，又，

故當(dāng)時，滿足題意.

綜上所述，時，對于恒成立.