Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）記，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的情況；

（2）若有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）有極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)（2）

【解析】

（1）由，令，根據(jù)，，得到存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，再根據(jù)極值點(diǎn)的概念，即可求解；

（2）把不等式，可化為，即，對(duì)實(shí)數(shù)分類討論，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，可得，

令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又由，，

所以存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，

令，可得，令，可得，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故為極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn).

（2）由不等式，可化為，即.

①當(dāng)時(shí)，由不等式有整數(shù)解，

所以函數(shù)在時(shí)，，所以有無(wú)窮多整數(shù)解.

②當(dāng)時(shí)，，又由，，

所以不等式有兩個(gè)整數(shù)解為，

即，解得；

③當(dāng)時(shí)，，又由，

所以不等式在時(shí)大于或等于1，所以無(wú)整數(shù)解，

綜上所述，可得