Question

在三棱椎A(chǔ)-BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2

2

，在底面BCD內(nèi)作CE⊥CD，且CE=

2

．
（1）求證：CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A-BD-C的大小為90°，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由BD=CD=2

2

，BC=4，可知BD⊥CD，再由CE⊥CD，可得CE∥BD，利用線面平行的判定定理可得結(jié)論；
（2）當(dāng)二面角A-BD-C的大小為90°時(shí)可得AD⊥平面BDC，取AC中點(diǎn)F，AE中點(diǎn)G，可證∠BFG為二面角B-AC-E的平面角，連接BG，通過解三角形可求得∠BFG，從而得到答案．

解答： （1）證明：∵BD=CD=2

2

，BC=4，
∴BD²+CD²=BC²，
∴BD⊥CD，
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，
又CE?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CE∥平面ABD；
（2）解：如果二面角A-BD-C的大小為90°，
由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，
又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，從而CE⊥AC，
由題意AD=DC=2

2

，∴Rt△ADC中，AC=4，
設(shè)AC的中點(diǎn)為F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2

3

，
設(shè)AE中點(diǎn)為G，則FG∥CE，
由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG為二面角B-AC-E的平面角，連接BG，
在△BCE中，∵BC=4，CE=

2

，∠BCE=135°，∴BE=

26

，
在Rt△DCE中，DE=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

，
于是在Rt△ADE中，AE=

(2 2 )2+( 10 )2

=3

2

，
在△ABE中，BG²=

1

2

AB²+

1

2

BE²-

1

4

AE²=

33

2

，
∴在△BFG中，cos∠BFG=

12+ 1 2 - 33 2

2×2 3 × 2 2

=-

6

3

，
∴二面角B-AC-E的余弦值為-

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定、二面角的求解，考查學(xué)生的推理論證能力、空間想象能力，屬中檔題．